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By Wladimir Andreff

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2, nous pouvons construire un algorithme de base qui fonctionne formellement pour toute distribution discrète. Pour générer X ∼ Pθ , où la loi Pθ est portée par les entiers, nous pouvons calculer — une fois pour toutes, en supposant que le stockage ne pose pas problème — les probabilités p0 = Pθ (X ≤ 0), p1 = Pθ (X ≤ 1), p2 = Pθ (X ≤ 2), ... , et puis générer U ∼ U[0,1] , déduisant X = k si pk−1 < U < pk comme notre valeur simulée. 382, . . , p10 = 1 . 0296, . . , jusqu’à ce que la suite approche 1 avec un nombre donné de décimales.

Montrer qu’elle peut être générée comme une variable uniforme à la puissance −1/α. Dessiner l’histogramme produit et la densité correspondante. 5 : Chapitre 2. Génération de variables aléatoires 29 a. Vérifier le code R pour le générateur de la loi de Poisson. Le comparer avec rpois. b. La distribution binomiale négative, de paramètres r et p, a une loi de probabilité P (Y = y) = r+y−1 y pr (1 − p)y , y = 0, 1, . . , avec une moyenne r(1 − p)/p et une variance r(1 − p)/p2 . 5, générer 1000 variables aléatoires et dessiner leur histogramme.

A. Dessiner f (x) et montrer qu’elle peut√être bornée par M g(x), où g est la densité normale standard g(x) = exp(−x2 /2)/ 2π. Trouver une valeur acceptable, sans être forcément optimale, de M . ) b. Générer 2500 variables aléatoires suivant f en utilisant l’algorithme de rejet. c. Déduire du taux d’acceptation de cet algorithme une approximation de la constante de normalisation de f et comparer l’histogramme avec le graphe de la densité normalisée f. 14 Dans un algorithme de rejet qui génère une variable aléatoire N (0, 1) à partir d’une loi doublement exponentielle de densité g(x|α) = (α/2) exp(−α|x|), calculer la borne supérieure M sur f /g et montrer que le choix α = 1 optimise le taux d’acceptation correspondant.

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